Pelangi, Jika Ditinjau dari Segi Kalkulus Differensial

Bab 1

Pendahuluan 

1.1           Latar Belakang

Pelangi merupakan salah satu fenomena yang sering terjadi di daerah tropis, seperti Indonesia. Menurut Smith (2000:32) Indonesia miliki intensitas cahaya matahari yang lebih tinggi dibandingkan dengan daerah kutub. Sinar matahari, angin, dan rotasi bumi dapat mempengaruhi arus air laut. Tingginya arus air laut dapat meningkatkan proses kondensasi, sehingga curah hujan akan semakin tinggi di daerah tropis. Kombinasi antara berbagai faktor alam tersebut akan mempengaruhi terbentuknya pelangi.

Fenomena pelangi yang tercipta ketika rintik hujan memecah sinar matahari telah membuat manusia terpesona sejak zaman dahulu kala. Upaya menjelaskan pelangi secara ilmiah pun telah dilakukan sejak masa Aristoteles. Kunci terjadinya pelangi adalah pembiasan, pemantulan dan dispersi cahaya.

Sejauh ini pendekatan yang digunakan untuk menjawab fenomena pelangi ialah dari sisi fisika, namun pendekatan dengan menggunakan matematika, khususnya kalkulus masih jarang ditemui. Kalkulus merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang membahas masalah limit, turunan, integral dan deret tak terhingga. Di sisi lain, kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang sains, ekonomi, dan teknik serta dapat memecahkan masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Aplikasi kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Sedangkan aplikasi dari kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, nilai minimum dan maksimum. Kita dapat menjelaskan fenomena pelangi yang sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari dengan menggunakan prinsip nilai minimum dan maksimum,

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang diuraikan di atas dapat dirumuskan masalah dari penelitian ini, yaitu:

1.      Bagaimana proses terjadinya pelangi?

2.      Bagaimana bentuk pelangi jika ditinjau dari segi kalkulus?

3.      Bagaimana posisi relatif pelangi terhadap pengamat dan matahari jika ditinjau dari segi kalkulus?

1.4 Tujuan Penulisan

1.      Menjelaskan proses terjadinya pelangi, posisi pelangi, dan bentuk pelangi jika ditinjau dari segi kalkulus.

1.5 Manfaat Penulisan

1.      Dapat menambah pengetahuan tentang keterkaitan ilmu kalkulus dengan fenomena pelangi.

2.      Dapat digunakan sebagai acuan untuk penelitian lebih lanjut tentang tinjauan kalkulus untuk pelangi secara lebih mendalam.

Bab 2

Pembahasan

2.1 Proses Terjadinya Pelangi

            Pelangi merupakan satu-satunya gelombang elektromagnetik yang dapat kita lihat. Pelangi adalah gejala optik dan meteorologi yang terjadi sacara alamiah dalam atmosfir bumi serta melibatkan cahaya matahari, pengamat dan tetesan air hujan.

            Jika ada cahaya matahari yang bersinar setelah hujan berhenti, maka cahaya tersebut akan menembus tetesan air hujan di udara. Udara dan tetesan air hujan memiliki kerapatan yang berbeda, sehingga ketika cahaya matahari merambat dari udara ke tetesan air hujan akan mengalami pembelokkan arah rambat cahaya (pembiasan cahaya).

Cahaya matahari merupakan sinar polikromatik, saat masuk ke dalam tetesan air hujan akan diuraikan menjadi warna-warna monokromatik yang memiliki panjang gelombang yang berbeda-beda. Cahaya matahari yang telah terurai menjadi warna monokromatik sebagian akan mengalami pemantulan saat mengenai dinding tetesan air hujan dan sebagian lainnya akan menembus ke luar tetesan air hujan. Masing-masing gelombang cahaya monokromatik tersebut akan mengalami pembiasan cahaya saat keluar dari tetesan air hujan dan arah pembiasannya akan berbeda-beda, tergantung pada warnanya.

Warna-warna monokromatik yang keluar dari tetesan air hujan mempunyai panjang gelombang yang berada dalam rentang 400 – 700 nm. Pada rentang 400 – 700 nm, gelombang cahaya yang dapat dilihat oleh mata manusia ialah gelombang yang mempunyai gradasi warna merah sampai ungu. Gradasi warna tersebut diasumsikan sebagai warna merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, dan ungu. Susunan gradasi warna tersebut kita namakan sebagai pelangi. Ketika kita melihat warna-warna ini pada pelangi, kita akan melihatnya tersusun dengan merah di paling atas dan warna ungu di paling bawah.

Berikut merupakan skema terjadinya pelangi pertama secara keseluruhan.

Gambar 1 Proses Fisis Pelangi Pertama Secara Keseluruhan

           

 Saat kita melihat pelangi, daerah di bawah pelangi akan terlihat lebih terang jika dibandingkan dengan daerah lainnya di sekitar pelangi. Daerah yang terlihat lebih terang tersebut dinamakan daerah terang pelangi. Ada dua hal yang menyebabkan daerah terang pelangi terlihat lebih terang dibandingkan daerah lainnya, yaitu yang pertama adalah cahaya matahari yang masuk ke tetesan air hujan yang menimbulkan pelangi pertama mempunyai intensitas cahaya matahari yang paling besar. Alasan kedua, pada proses pembentukan pelangi pertama, saat berada dalam tetesan air hujan, cahaya matahari hanya mengalami satu kali proses pemantulan cahaya, sehingga energi yang terserap oleh tetesan air hujan masih cukup banyak.

2.2 Bentuk Pelangi Jika Ditinjau dari Segi Kalkulus

Sebenarnya, bentuk pelangi adalah lingkaran penuh. Kalau terlihat setengah lingkaran, atau bagian dari lingkaran, itu terjadi karena pelangi terpotong oleh horison bumi, atau objek lain yang menghalangi cahaya, misalkan gunung dan bukit.

Pelangi terjadi akibat pembiasan cahaya pada sudut 40-42. Karena sudut pembiasan tetap, maka letak terjadinya warna pelangi selalu tetap dari pusat cahaya, sehingga jari-jarinya juga tetap, kalau jari-jari nya tetap (konstan) dari satu pusat atau titik, kita akan mendapatkan lingkaran. Kalau lingkarannya kita potong, kita selalu dapat bagian lingkaran yang melengkung.

Saat memandang sebuah objek, mata manusia bersifat konvergen atau menyebar. Pandangan mata kita saat melihat sebuah objek dapat diilustrasikan sebagai sebuah kerucut yang memiliki titik puncak pada mata kita, seperti tampak pada gambar 4. Kemiringan kerucut yang terbentuk dipengaruhi oleh posisi matahari. Sebagian alas kerucut tidak dapat kita lihat karena berada di bawah garis horizontal bumi, sedangkan sebagian lainnya terlihat sebagai busur atau biasa kita sebut sebagai pelangi.

2.3 Posisi Relatif Pelangi Terhadap Pengamat dan Matahari Jika Ditinjau dari Segi Kalkulus

Posisi matahari pengamat dan pelangi akan selalu dalam satu axis, di mana matahari akan selalu berada di belakang pengamat (diilustrasikan pada Gambar 3.5 dan 3.7). Kita tidak dapat melihat pelangi jika posisi matahari tegak lurus dengan garis horizontal bumi.

Bab 3

Penutup

3.1 Simpulan

Pelangi adalah gejala optik dan meteorologi yang terjadi sacara alamiah dalam atmosfir bumi serta melibatkan cahaya matahari, pengamat dan tetesan air hujan. Cahaya matahari masuk ke dalam tetesan air hujan akan mengalami proses pembiasan lalu cahaya tersebut akan terurai menjadi warna monokromatik. Cahaya yang telah terurai, masing-masing akan mengalami proses pemantulan saat mengenai dinding tetesan air hujan dan kembali akan mengalami proses pembiasan cahaya saat keluar dari tetesan air hujan. Rangkaian gelombang warna monokromatik yang membentuk spektrum cahaya tersebut yang akan membentuk pelangi pertama.

Sebenarnya, bentuk pelangi adalah lingkaran penuh. Kalau terlihat setengah lingkaran, atau bagian dari lingkaran, itu terjadi karena pelangi terpotong oleh horison bumi, atau objek lain yang menghalangi cahaya, misalkan gunung dan bukit. Bentuk pelangi yang berupa lingkaran disebabkan oleh sudut pembiasan masing-masing gelombang warna tetap dan sifat konvergen (menyebar) saat mata manusia memandang sebuah objek.

Untuk dapat melihat pelangi, kita harus memiliki sudut sebesar 40-42 derajat serta posisi matahari, pengamat dan pelangi terletak pada satu axis dengan posisi matahari berada di belakang pengamat. Kita tidak dapat melihat pelangi jika posisi matahari tegak lurus dengan garis horizontal bumi, sehingga kita hanya dapat melihat pelangi pada pagi hari atau sore hari.

APLIKASI INTEGRAL TENTU PADA FISIKA

USAHA

Jika pada sebuah objek diberikan gaya F, maka objek tersebut akan tetap berpindah sejauh jarak d dari tempat semula,maka usaha W yang dilakuakan untuk memindahkan benda tersebut tergantung berapa besarnya gaya yang diberikan dan sejauh mana benda tersebut berpindah tempat. Secara fisika dan teknik usaha yag dilakukan adalah W= F. d

Masalah :

Andaikan sebuah objek bergerak arah positif sepanjang garis koordinat ketika diberikan gaya sebesar F(X), dalam arah geraknya. Tentukan kerja yang dilakukan oleh gaya tersebut bila benda berpindah dari titik a menuju titik b pada interval [a,b].

Penyelesaian :

Sebelum kita menyelesaikan masalah di atas perlu kita definisikan secara jelas apa yang dimaksud dengan kerja yang dilakukan variabel gaya. Untuk itu, selang [a,b] kita bagi dengan titik titik bagi a = X₀ <X₁<X₂<X₃<...<X_a=b menjadi n subinterval dengan panjang interval ∆X₁, ∆X₂, ∆X₃, ∆X_4, ..., ∆X_n. Jika kita catat W_k adalah kerja yang dilakukan gaya, bila benda bergerak kesubinterval ke-k, maka total kerja W bila benda bergerak sepanjang interval[a,b] adalah

W≈W₁ +W₂+W₃+...+W_n.....................................................................................................................(1)

Jika F(x) kontiniu dan kinstan padaa setiap pergerakan ke-k subinterval, maka kita dapat mendekati F(x) dengan F( ) sedekat mungkin, dimana  adalah sebarang titik di k subinterval. Maka dari persamaan (1), kerja yang dilakukan pada subinterval ke-k adalah

W_k≈ F( ).∆ .................................................................................................................................(2)

Dan kerja yang dilakukan sepanjang interval [a,b] adalah

W =    ∆ ...................................................................................................(3)

Jika n    maka ∆    0 akibatnya persamaan 3 ditulis sebagai berikut.

W = ∆  ...................................................................................................(4)

Karena limit pada ruas kanan persamaan (4) dapat dinyatakan dengan integral maka

W= ...................................................................................................................................(5)

Definisi

Misalkan F kontiniu pada interval tutup [a,b]. Jika F(x) adalah besar gaya di x yang bekerja sepanjang sumbu x maka kerja atau usaha yang dilakukan oleh gaya itu sehingga objek itu berpindah dari a ke b adalah W=

Penerapan pada pegas (sambungan Usaha)

Menurut hukum Hook dalam fisika gaya F(x) yang diperlukan untuk merengangkan (atau menekan) pegas memanjang (atau memendek) x satuan dari panjang alami (gambar 4)  diberikan oleh

F(x) = K x

Disini konstanta K yang disebut konstanta pegas adalah positif. Makin keras pegas makin besar nilai k.

Contoh-1

Sebuah pegas yang panjangnya secara alami 24 inci.diperlukan gaya sebesar 5 pon untuk menarik dan menahan pegas sejauh 10 inci, tentukan

a.       Konstanta pegas k

b.      Kerja yang dilakukan untuk menarik pegas tersebut sejauh 42 inci dari keadaan alami.

Penyelesaian:

Berdasarkan hukum Hook: gaya yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh X inci adalah F(x)= k.x

Dari soal diperoleh x=10 inci dan F(x)= 5 pon. Sehingga diperoleh

F(x)= k.x 5=10 k

                  k=

Berarti gaya yang diperlukan menarik pegas sejauh x inci adalah F(x)=

Apabila pegas dalam keadaan alami sepajang 24 inci, X = 0, apabila pegas panjang 42 inci dari keadaan alami, X = 18. Sehingga kerja yang dilakukan adalah

W=    =

                                =_­­_­

                                                =81 inci-pon

Contoh-2

Sebuah tangki air berbentuk silinder dengan jari-jari 10 ft dan tinginya 30 ft setengah tangki tersebut berisi air. Berapa usaha yang dilakukan agar seluruh air keluar permukaan atas tangki?

Penyelesaian:

GAMBAR

Perhatikan Gambar-1 diatas, gaya yang diperlukan untuk memindahkan air sejauh ∆  adalah

F = (π r² ∆ )(densitas air)

                   = (π (10)² ∆ )(62,4)

                    = 6240 π ∆

Berarti usaha yang dilakukan untuk memindahkan air sejauh ke-k subionterval adalah

W_k= (30 - ). (6240 π ∆  )_` .....................................................................................................(1)

Sehingga usaha yang dilakukan untuk memindahkan air sampai keluar permukaan tangki sama dengan usaha yang dilakukan untuk memindahkan airnsepanjang interval yaitu

W =    ......................................................................(2)

Untuk menentukan secara pasti usaha yang dilakukan kita buat n    maka   , maka porsamaan (2) dapat ditulis sebagai berikut

W =  

     =

     = 6240  _­­_­

         = 2.106.000  ft-pon

Penerapan pada pompa cairan (Sambungan Usaha)

Conto -3:

Sebuah tangki yang berbentuk kerucut lingkaran tegak penuh dengan air. Jika tangki 10 kaki dan jari jari lingkaran atas 10 kaki tentukan kerja yang diperlukan untuk memompa air a) melewati tepi atas tangki dan

b) mencapai 10 kaki di atas puncak kaki

Penyelesaian :

a). Letakkan tangki dalam sistem koordinat seperti tampak pada gambar. Diperlihatkan suatu tinjauan yang berdimensi tiga dan juga sebuah penampang berdimensi dua bayangkan pengirisan air menjadi cakram cakram datar tipis, yang masing-masing harus diangkat melewati tepi tangki. Sebuah cakram tebal ∆y pada ketinggian y mempunyai jari-jari 4y/10. Sehingga volumenya kira-kira (4y/10)² ∆y kaki kubik dan beratnya kira kira  ∆y, dengan   =62,4 adalah kerapan air (berat) dalam pound per kaki kubik. Gaya yang diperlukan untuk  mengangkat cakram air ini adalah sama dengan beratnya dan harus diangkat sejauh 10-y kaki. Jadi kerja ∆W yang dilakukan pada cakram ini, kira-kira adalah

∆W = (gaya) . (jarak)    ∆y . (10 – y)

Jadi

W =  = ) dy

     =    26,138 pound-kaki

b). bagian b sama seperti bagian a, kecuali bahwa masing-masing cakram air sekarang harus diangkat sejauh 20 – y dan bukannya 10 – y. sehingga

w =  = ) dy

    =    130.690 pound-kaki

 TEKANAN DAN GAYA PADA CAIRAN

Jika sebuah tangki atau flat atau container diisi cairan (fluida) setinggi h dengan densitas cairan . Maka gaya pada dasar tangki yang luas permukaannya A, jika sebuah plat dimasukkan secara vertical kedalam air sama dengan gaya pada permukaan cairan. Secara fisika dinyatakan dengan rumus F =   h A. Sementara besarnya tekanan adalah besarnya gaya yang diberikan per unit luas permukaan atau P =  =  h.

Bagaimana mengaplikasikan integral tentu untuk menentukan gaya pada siku empat pada dasar tangki muatan cairan dengan luas permukaannya A ?. untuk itu perhatian gambar

Kita bagi interval [a,b] dalam n subinterval dengan panjang _{1, 2, 3,… a.} Misalkan x _k  sebarang titik pada subinterval ke-k

                                                     GAMBAR                                                     

Kita potong-potong permukaan plat dengan persegi panjang yang panjangnya w (x _k  ) dan lebarnya _{k .} misalkan kedalaman plat saat x adalah h(x _k  ). Sehingga gaya pada siku empat yang terletak pada dasar tangki adalah

F_k    h(x _k  ).[ w (x _k  ). _k]  ………………………….. (1)

Total gaya F pada segi empat  dasar tangki dihampiri dengan

F = _k   ]………….(2)

Untuk menentukan secara eksak gaya F pada segi empat dasar tangki, kita butuh n  maka _k . Akibatnya persamaan (2) dapat ditulis menjadi

F = ]

   =

Definisi

Asumsikan bahwa sebuah plat ditekan secara vertical kedalam cairan yang kerapatannya  dari x=a sampai x=b. untuk a , misalkan w(x) adalah lebar plat saat x dan h(x) kedalaman pada saat titik x. maka total gaya cairan pada dasar tangki adalah F =

Contoh-4

Sebuah palt yang berbentuk segituga yang panjang alasnya 10ft dan tingginya 4ft. dimasukkan secara vertical kedalam minyak seperti gambar

                                                     GAMBAR

Tentukan total gaya balikan kepermukaan plat jika kerapatan minyak  = 30 pon/ft³.

Penyelesaian :

Lebar plat segituga saat h(x) = (3+x) ft adalah

Sehingga gaya pada plat adalah

F =

   =  

   =75  + x²)dx

   = 75 ₀⁴

F = 3400 pon

Tekanan dan Gaya Hidrostastik

                permasalahan:

Orang yang menyelam dilaut dalam menyadari bahwa tekanan air meningkat seiring dengan kedalaman laut karena berat air di atas mereka bertambah. Hal ini membuktikan bahwa pada setiap titik dalam cairan , tekanannya sama ke segala arah.

Maka dari itu, tekanan ke segala arah dengan kedalaman d dan kerapatan massa adalah:

P = ρgh

Contoh-5

Sebuah waduk dalam bentuk trapesium tingginya adalah 20 m dan lebar alas atasnya 50 m, sedangkan lebar alas bawah 30 m. tentukan gaya pada waduk tersebut yang diakibatkan oleh tekanan hidrostatis jika ketinggian air adalah 4 meter dari atas waduk?

Penyelesaian:

Kita menggunakan sumbu vertikal x dengan titik asal pada permukaan air seperti pada gambar. Kedalaman air 16 m sehingga interval menjadi [0,16] dan membaginya menjadi subinterval dengan panjang yang sama dengan titik akhir x_i dan memilih x_i^*Є [x_i-1, x_i]

Sehingga W_i = 2(15+a) = 2(15+8-¹/₂x_i^*) = 46-x_i^* 

Jika A_i adalah luas pita ke-i, maka:

Jika ∆x kecil, maka tekanan P₁ pada pita ke-I nyaris konstan dan kita dapat menggunakan persamaan I untuk menuliskan

gaya hidrostatik F_i yang bekerja pada pita ke-i adalah hasil kali tekanan dan luas:

F_i = P_iA_i ≈ 1000gx_i ^* (46 - x_i ^*)∆x

Dengan menambahkan gaya gaya ini dan menghitung limitnya seiring n→∞, kita mendapatkan gaya total gaya hidrostatik pada waduk:

≈ 4,43 x 10⁷ N

Momen, Pusat Massa

Andaikan bahwa dua massa berukuran m₁ dan m₂ diletakkan pada papan kesetimbangan dan berjarak d₁ dan d₂ dari titik tumpu pada bagian-bagian yang berlawanan terhadapnya. Papan tersebut hanya setimbang jika dan hanya jika d₁m₁ = d₂m₂

Model matematis yang baik untuk sittuasi ini diperoleh dengan cara meletakkan ulanbg papan penyangga dengan suatu sistem koordinat datar yang titik asalnya berada di titik tumpu. Maka koordinat x₁ dari m₁ adalah x₁ = -d₁ , koordinat m₂ = d₂ dan kondisi kesetimbangan adalah

                       x₁m₁ + x₂m₂ = 0

hasil kali massa m suatu partikel dengan jarak berarahnya dari suatu titik (lengan tuas) dionamakan momen partikel terhadap titik tersebut. Momen ini mengukur kecendrungan massa untuk menghasilkan suatu putaran pada titik tersebut. Syarat agar dua massa sepanjang suatu garis setimbang pada sebuah titik pada garis tersebut adalah bahwa jumlah momen momennya teradap titik itu sama dengan nol.

       Jumlah momen M (terhadap titik asal) suatu sisrem yang terdiri atas n massa berukuran m₁, m₂, …,m_n yang berada pada x₁, x₂, …,x_n sepanjang sumbu-x adalah jumlah momen masing-masing massa yakni 

M = x₁m₁ + x₂m₂ + … + x_nm_n =

Syarat kesetimbangan di titik asal adalah M=0. Tentu saja kita tidak selalu mengharapkan kesetimbangan di titik asal kecuali dalam keadaan khusus. Akan tetapi yang pasti setiap sistem massa akan setimbang di suatu tempat. Pertanyaannya adalah di mana. Berapakah koordinat x dari titik tempat titik tumpu seharusnya diletakkan agar sitem dalam gambar 4 setimbang?

Sebut koordinat yang diinginkan x . jumlah momen terhadap titik ini harus nol yakni

       (x₁ – x )m₁ + (x₂ – x)m₂ + … + (x_n – x_n)m_n = 0

Atau

x₁m₁ + x₂m₂ + … + x_nm_n = x₁m₁ + x₂m₂ + … + x_nm_n

bila kita selesaikan untuk x maka kita memperoleh :

x =  =

titik x, yang dinamakan pusat massa, adalah titik kesetimbanagn. Perhatikan bahwa titik itu hanyalah jumlah momen terhadap titik asal dibagi dengan jumlah massa.

Distribusi massa yang kontinu sepanjang garis (sambungan momen , pusat massa)

Perhatikan sepotong kawat lurus tipis dengan kepadatan (massa tiap satuan panjang ) yang bervariasi, untuuk kawat tersebut kita inginkan mencari titik kesetimbnagannya. Kita tetapkan suatu garis koordinat sepanjang kawat dan andaikan kepadatan di x adalah . Pertama kita dapatkan jumlah massa m dan kemudian jumlah momen M terhadap titik asal (gambar 6) ini menuntun kita ke rumus :

x =  =

contoh :

kepadatan  sepotong kawat di titik yang terletak x cm dari salah satu ujungnya adalah  = 3x² gram/cm. tentukanlah pusat massa kawat antara x = 0 dan x= 10

penyelesaian :

kita mengharapkan agar letak x lebih dekat ke ujung x = 10 ketimbang ujung x= 0, sebab kawat lebih berat (padat) ke ujung kanan (gambar 7)

x =  =  =  = 7,5 cm