USAHA
Jika pada
sebuah objek diberikan gaya F, maka objek tersebut akan tetap berpindah sejauh
jarak d dari tempat semula,maka usaha W yang dilakuakan untuk memindahkan benda
tersebut tergantung berapa besarnya gaya yang diberikan dan sejauh mana benda
tersebut berpindah tempat. Secara fisika dan teknik usaha yag dilakukan adalah
W= F. d
Masalah
:
Andaikan
sebuah objek bergerak arah positif sepanjang garis koordinat ketika diberikan
gaya sebesar F(X), dalam arah geraknya. Tentukan kerja yang dilakukan oleh gaya
tersebut bila benda berpindah dari titik a menuju titik b pada interval [a,b].
Penyelesaian
:
Sebelum
kita menyelesaikan masalah di atas perlu kita definisikan secara jelas apa yang
dimaksud dengan kerja yang dilakukan variabel gaya. Untuk itu, selang [a,b]
kita bagi dengan titik titik bagi a = X0 <X1<X2<X3<...<Xa=b
menjadi n subinterval dengan panjang interval ∆X1, ∆X2, ∆X3, ∆X4, ..., ∆Xn. Jika kita catat Wk adalah kerja yang
dilakukan gaya, bila benda bergerak kesubinterval ke-k, maka total kerja W bila
benda bergerak sepanjang interval[a,b] adalah
W≈W1 +W2+W3+...+Wn.....................................................................................................................(1)
Jika
F(x) kontiniu dan kinstan padaa setiap pergerakan ke-k subinterval, maka kita
dapat mendekati F(x) dengan F(
) sedekat mungkin, dimana
adalah sebarang titik di k subinterval. Maka
dari persamaan (1), kerja yang dilakukan pada subinterval ke-k adalah
Wk≈ F(
).∆
.................................................................................................................................(2)
Dan kerja yang
dilakukan sepanjang interval [a,b] adalah
W =
∆
...................................................................................................(3)
Jika n
maka ∆
0 akibatnya persamaan 3
ditulis sebagai berikut.
W =
∆
...................................................................................................(4)
Karena limit pada
ruas kanan persamaan (4) dapat dinyatakan dengan integral maka
W=
...................................................................................................................................(5)
Definisi
Misalkan F
kontiniu pada interval tutup [a,b]. Jika F(x) adalah besar gaya di x yang
bekerja sepanjang sumbu x maka kerja atau usaha yang dilakukan oleh gaya itu
sehingga objek itu berpindah dari a ke b adalah W=
Penerapan
pada pegas (sambungan Usaha)
Menurut hukum Hook dalam fisika gaya F(x) yang
diperlukan untuk merengangkan (atau menekan) pegas memanjang (atau memendek) x
satuan dari panjang alami (gambar 4)
diberikan oleh
F(x)
= K x
Disini konstanta K yang disebut konstanta
pegas adalah positif. Makin keras pegas makin besar nilai k.
Contoh-1
Sebuah pegas yang
panjangnya secara alami 24 inci.diperlukan gaya sebesar 5 pon untuk menarik dan
menahan pegas sejauh 10 inci, tentukan
a.
Konstanta pegas k
b.
Kerja yang
dilakukan untuk menarik pegas tersebut sejauh 42 inci dari keadaan alami.
Penyelesaian:
Berdasarkan hukum
Hook: gaya yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh X inci adalah F(x)= k.x
Dari soal
diperoleh x=10 inci dan F(x)= 5 pon. Sehingga diperoleh
F(x)= k.x
5=10 k
k=
Berarti
gaya yang diperlukan menarik pegas sejauh x inci adalah F(x)=
Apabila
pegas dalam keadaan alami sepajang 24 inci, X = 0, apabila pegas panjang 42
inci dari keadaan alami, X = 18. Sehingga kerja yang dilakukan adalah
W=
=
=
=81 inci-pon
Contoh-2
Sebuah
tangki air berbentuk silinder dengan jari-jari 10 ft dan tinginya 30 ft
setengah tangki tersebut berisi air. Berapa usaha yang dilakukan agar seluruh
air keluar permukaan atas tangki?
Penyelesaian:
GAMBAR
Perhatikan
Gambar-1 diatas, gaya yang diperlukan untuk memindahkan air sejauh ∆
adalah
F =
(π r2 ∆
)(densitas air)
= (π (10)2 ∆
)(62,4)
= 6240 π ∆
Berarti
usaha yang dilakukan untuk memindahkan air sejauh ke-k subionterval adalah
Wk= (30 -
). (6240 π ∆
)`
.....................................................................................................(1)
Sehingga
usaha yang dilakukan untuk memindahkan air sampai keluar permukaan tangki sama
dengan usaha yang dilakukan untuk memindahkan airnsepanjang interval yaitu
W =
......................................................................(2)
Untuk
menentukan secara pasti usaha yang dilakukan kita buat n
maka
, maka porsamaan (2) dapat ditulis sebagai berikut
W =
=
= 6240
= 2.106.000
ft-pon
Penerapan
pada pompa cairan (Sambungan Usaha)
Conto -3:
Sebuah tangki yang berbentuk kerucut lingkaran
tegak penuh dengan air. Jika tangki 10 kaki dan jari jari lingkaran atas 10
kaki tentukan kerja yang diperlukan untuk memompa air a) melewati tepi atas
tangki dan
b) mencapai 10 kaki di atas puncak kaki
Penyelesaian :
a). Letakkan tangki dalam sistem koordinat
seperti tampak pada gambar. Diperlihatkan suatu tinjauan yang berdimensi tiga
dan juga sebuah penampang berdimensi dua bayangkan pengirisan air menjadi
cakram cakram datar tipis, yang masing-masing harus diangkat melewati tepi
tangki. Sebuah cakram tebal ∆y pada ketinggian y mempunyai jari-jari 4y/10.
Sehingga volumenya kira-kira
(4y/10)2 ∆y
kaki kubik dan beratnya kira kira
∆y, dengan
=62,4 adalah kerapan air (berat) dalam pound per kaki kubik. Gaya yang
diperlukan untuk mengangkat cakram air
ini adalah sama dengan beratnya dan harus diangkat sejauh 10-y kaki. Jadi kerja
∆W yang dilakukan pada cakram ini, kira-kira adalah
∆W
= (gaya) . (jarak)
∆y . (10 – y)
Jadi
W
=
=
) dy
=
26,138 pound-kaki
b). bagian b sama seperti bagian a,
kecuali bahwa masing-masing cakram air sekarang harus diangkat sejauh 20 – y
dan bukannya 10 – y. sehingga
w
=
=
) dy
=
130.690 pound-kaki
TEKANAN DAN GAYA PADA CAIRAN
Jika sebuah tangki atau flat atau
container diisi cairan (fluida) setinggi h dengan densitas cairan
. Maka gaya pada dasar tangki yang luas
permukaannya A, jika sebuah plat dimasukkan secara vertical kedalam air sama
dengan gaya pada permukaan cairan. Secara fisika dinyatakan dengan rumus F
=
h
A. Sementara besarnya tekanan adalah besarnya gaya yang diberikan per unit luas
permukaan atau P =
=
h.
Bagaimana mengaplikasikan integral tentu
untuk menentukan gaya pada siku empat pada dasar tangki muatan cairan dengan
luas permukaannya A ?. untuk itu perhatian gambar
Kita bagi interval [a,b] dalam n
subinterval dengan panjang
1,
2,
3,…
a. Misalkan
x
k sebarang titik pada subinterval ke-k
GAMBAR
Kita potong-potong permukaan plat dengan
persegi panjang yang panjangnya w (x
k ) dan lebarnya
k . misalkan
kedalaman plat saat x adalah h(x
k ). Sehingga gaya pada siku empat yang terletak
pada dasar tangki adalah
Fk
h(x
k ).[ w (x
k ).
k] ………………………….. (1)
Total gaya F pada segi empat dasar tangki dihampiri dengan
F =
k
]………….(2)
Untuk menentukan secara eksak gaya F pada
segi empat dasar tangki, kita butuh n
maka
k
. Akibatnya persamaan (2) dapat ditulis
menjadi
F =
]
=
Definisi
Asumsikan bahwa sebuah plat ditekan
secara vertical kedalam cairan yang kerapatannya
dari x=a sampai x=b. untuk a
, misalkan w(x) adalah lebar plat saat x
dan h(x) kedalaman pada saat titik x. maka total gaya cairan pada dasar tangki
adalah F =
Contoh-4
Sebuah palt yang berbentuk segituga yang
panjang alasnya 10ft dan tingginya 4ft. dimasukkan secara vertical kedalam
minyak seperti gambar
GAMBAR
Tentukan total gaya balikan kepermukaan
plat jika kerapatan minyak
=
30 pon/ft3.
Penyelesaian :
Lebar plat segituga saat h(x) = (3+x) ft
adalah
Sehingga gaya pada plat adalah
F =
=
=75
+
x2)dx
= 75
04
F = 3400 pon
Tekanan dan Gaya Hidrostastik
permasalahan:
Orang
yang menyelam dilaut dalam menyadari bahwa tekanan air meningkat seiring dengan
kedalaman laut karena berat air di atas mereka bertambah. Hal ini membuktikan
bahwa pada setiap titik dalam cairan , tekanannya sama ke segala arah.
Maka
dari itu, tekanan ke segala arah dengan kedalaman d dan kerapatan massa adalah:
P
= ρgh
Contoh-5
Sebuah waduk dalam bentuk trapesium
tingginya adalah 20 m dan lebar alas atasnya 50 m, sedangkan lebar alas bawah
30 m. tentukan gaya pada waduk tersebut yang diakibatkan oleh tekanan
hidrostatis jika ketinggian air adalah 4 meter dari atas waduk?
Penyelesaian:
Kita
menggunakan sumbu vertikal x dengan titik asal pada permukaan air seperti pada
gambar. Kedalaman air 16 m sehingga interval menjadi [0,16] dan membaginya
menjadi subinterval dengan panjang yang sama dengan titik akhir xi
dan memilih xi*Є
[xi-1, xi]
Sehingga
Wi = 2(15+a) = 2(15+8-1/2xi*)
= 46-xi*
Jika
Ai adalah luas pita ke-i, maka:
Jika
∆x kecil, maka tekanan P1 pada pita ke-I nyaris konstan dan kita
dapat menggunakan persamaan I untuk menuliskan
gaya hidrostatik Fi
yang bekerja pada pita ke-i adalah hasil kali tekanan dan luas:
Fi = PiAi
≈ 1000gxi * (46
- xi *)∆x
Dengan menambahkan gaya
gaya ini dan menghitung limitnya seiring n→∞, kita mendapatkan gaya total gaya
hidrostatik pada waduk:
≈ 4,43 x 107
N
Momen,
Pusat Massa
Andaikan bahwa dua massa berukuran m1 dan
m2 diletakkan pada papan kesetimbangan dan berjarak d1
dan d2 dari titik tumpu pada bagian-bagian yang berlawanan
terhadapnya. Papan tersebut hanya setimbang jika dan hanya jika d1m1
= d2m2
Model matematis yang baik untuk sittuasi ini
diperoleh dengan cara meletakkan ulanbg papan penyangga dengan suatu sistem
koordinat datar yang titik asalnya berada di titik tumpu. Maka koordinat x1
dari m1 adalah x1 = -d1 , koordinat m2
= d2 dan kondisi kesetimbangan adalah
x1m1
+ x2m2 = 0
hasil kali massa m suatu partikel dengan jarak
berarahnya dari suatu titik (lengan tuas) dionamakan momen partikel terhadap
titik tersebut. Momen ini mengukur kecendrungan massa untuk menghasilkan suatu
putaran pada titik tersebut. Syarat agar dua massa sepanjang suatu garis
setimbang pada sebuah titik pada garis tersebut adalah bahwa jumlah momen
momennya teradap titik itu sama dengan nol.
Jumlah
momen M (terhadap titik asal) suatu sisrem yang terdiri atas n massa berukuran
m1, m2, …,mn yang berada pada x1, x2,
…,xn sepanjang sumbu-x adalah jumlah momen masing-masing massa
yakni
M
= x1m1 + x2m2 + … + xnmn
=
Syarat kesetimbangan di titik asal adalah M=0.
Tentu saja kita tidak selalu mengharapkan kesetimbangan di titik asal kecuali
dalam keadaan khusus. Akan tetapi yang pasti setiap sistem massa akan setimbang
di suatu tempat. Pertanyaannya adalah di mana. Berapakah koordinat x dari titik
tempat titik tumpu seharusnya diletakkan agar sitem dalam gambar 4 setimbang?
Sebut koordinat
yang diinginkan x . jumlah momen terhadap titik ini harus nol yakni
(x1 – x )m1
+ (x2 – x)m2 + … + (xn – xn)mn
= 0
Atau
x1m1 +
x2m2 + … + xnmn = x1m1
+ x2m2 + … + xnmn
bila kita selesaikan untuk x maka
kita memperoleh :
x =
=
titik x, yang dinamakan pusat massa,
adalah titik kesetimbanagn. Perhatikan bahwa titik itu hanyalah jumlah momen
terhadap titik asal dibagi dengan jumlah massa.
Distribusi massa yang kontinu sepanjang
garis
(sambungan momen , pusat massa)
Perhatikan sepotong
kawat lurus tipis dengan kepadatan (massa tiap satuan panjang ) yang bervariasi,
untuuk kawat tersebut kita inginkan mencari titik kesetimbnagannya. Kita
tetapkan suatu garis koordinat sepanjang kawat dan andaikan kepadatan di x
adalah
. Pertama kita dapatkan jumlah massa m
dan kemudian jumlah momen M terhadap titik asal (gambar 6) ini menuntun kita ke
rumus :
x =
=
contoh :
kepadatan
sepotong kawat di titik yang terletak x cm
dari salah satu ujungnya adalah
=
3x2 gram/cm. tentukanlah pusat massa kawat antara x = 0 dan x= 10
penyelesaian :
kita mengharapkan agar
letak x lebih dekat ke ujung x = 10 ketimbang ujung x= 0, sebab kawat lebih
berat (padat) ke ujung kanan (gambar 7)
x =
=
=
=
7,5 cm
terima kasiih sangat membantu , saya izin mengcopy untuk bahan pembelajaran dan tugas
ReplyDelete