Search This Blog

Friday, February 12, 2016

APLIKASI INTEGRAL TENTU PADA FISIKA



USAHA
Jika pada sebuah objek diberikan gaya F, maka objek tersebut akan tetap berpindah sejauh jarak d dari tempat semula,maka usaha W yang dilakuakan untuk memindahkan benda tersebut tergantung berapa besarnya gaya yang diberikan dan sejauh mana benda tersebut berpindah tempat. Secara fisika dan teknik usaha yag dilakukan adalah W= F. d
Masalah :
Andaikan sebuah objek bergerak arah positif sepanjang garis koordinat ketika diberikan gaya sebesar F(X), dalam arah geraknya. Tentukan kerja yang dilakukan oleh gaya tersebut bila benda berpindah dari titik a menuju titik b pada interval [a,b].
Penyelesaian :
Sebelum kita menyelesaikan masalah di atas perlu kita definisikan secara jelas apa yang dimaksud dengan kerja yang dilakukan variabel gaya. Untuk itu, selang [a,b] kita bagi dengan titik titik bagi a = X0 <X1<X2<X3<...<Xa=b menjadi n subinterval dengan panjang interval X1,X2,X3,X4, ...,Xn. Jika kita catat Wk adalah kerja yang dilakukan gaya, bila benda bergerak kesubinterval ke-k, maka total kerja W bila benda bergerak sepanjang interval[a,b] adalah
W≈W1 +W2+W3+...+Wn.....................................................................................................................(1)
Jika F(x) kontiniu dan kinstan padaa setiap pergerakan ke-k subinterval, maka kita dapat mendekati F(x) dengan F( ) sedekat mungkin, dimana  adalah sebarang titik di k subinterval. Maka dari persamaan (1), kerja yang dilakukan pada subinterval ke-k adalah
Wk F( ). .................................................................................................................................(2)
Dan kerja yang dilakukan sepanjang interval [a,b] adalah
W =     ...................................................................................................(3)
Jika n    maka    0 akibatnya persamaan 3 ditulis sebagai berikut.
W =  ...................................................................................................(4)
Karena limit pada ruas kanan persamaan (4) dapat dinyatakan dengan integral maka
W= ...................................................................................................................................(5)

Definisi
Misalkan F kontiniu pada interval tutup [a,b]. Jika F(x) adalah besar gaya di x yang bekerja sepanjang sumbu x maka kerja atau usaha yang dilakukan oleh gaya itu sehingga objek itu berpindah dari a ke b adalah W=

Penerapan pada pegas (sambungan Usaha)
Menurut hukum Hook dalam fisika gaya F(x) yang diperlukan untuk merengangkan (atau menekan) pegas memanjang (atau memendek) x satuan dari panjang alami (gambar 4)  diberikan oleh
F(x) = K x
Disini konstanta K yang disebut konstanta pegas adalah positif. Makin keras pegas makin besar nilai k.
Contoh-1
Sebuah pegas yang panjangnya secara alami 24 inci.diperlukan gaya sebesar 5 pon untuk menarik dan menahan pegas sejauh 10 inci, tentukan
a.       Konstanta pegas k
b.      Kerja yang dilakukan untuk menarik pegas tersebut sejauh 42 inci dari keadaan alami.
Penyelesaian:
Berdasarkan hukum Hook: gaya yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh X inci adalah F(x)= k.x
Dari soal diperoleh x=10 inci dan F(x)= 5 pon. Sehingga diperoleh
F(x)= k.x 5=10 k
                  k=
Berarti gaya yang diperlukan menarik pegas sejauh x inci adalah F(x)=
Apabila pegas dalam keadaan alami sepajang 24 inci, X = 0, apabila pegas panjang 42 inci dari keadaan alami, X = 18. Sehingga kerja yang dilakukan adalah
W=    =
                                =­­­
                                                =81 inci-pon

Contoh-2
Sebuah tangki air berbentuk silinder dengan jari-jari 10 ft dan tinginya 30 ft setengah tangki tersebut berisi air. Berapa usaha yang dilakukan agar seluruh air keluar permukaan atas tangki?
Penyelesaian:
GAMBAR


Perhatikan Gambar-1 diatas, gaya yang diperlukan untuk memindahkan air sejauh  adalah
F = (π r2 )(densitas air)
                   = (π (10)2 )(62,4)
                    = 6240 π
Berarti usaha yang dilakukan untuk memindahkan air sejauh ke-k subionterval adalah
Wk= (30 - ). (6240 π  )` .....................................................................................................(1)
Sehingga usaha yang dilakukan untuk memindahkan air sampai keluar permukaan tangki sama dengan usaha yang dilakukan untuk memindahkan airnsepanjang interval yaitu
W =    ......................................................................(2)
Untuk menentukan secara pasti usaha yang dilakukan kita buat n    maka   , maka porsamaan (2) dapat ditulis sebagai berikut
W =  
     =
     = 6240  ­­­
         = 2.106.000  ft-pon

Penerapan pada pompa cairan (Sambungan Usaha)
Conto -3:
Sebuah tangki yang berbentuk kerucut lingkaran tegak penuh dengan air. Jika tangki 10 kaki dan jari jari lingkaran atas 10 kaki tentukan kerja yang diperlukan untuk memompa air a) melewati tepi atas tangki dan
b) mencapai 10 kaki di atas puncak kaki
Penyelesaian :
a). Letakkan tangki dalam sistem koordinat seperti tampak pada gambar. Diperlihatkan suatu tinjauan yang berdimensi tiga dan juga sebuah penampang berdimensi dua bayangkan pengirisan air menjadi cakram cakram datar tipis, yang masing-masing harus diangkat melewati tepi tangki. Sebuah cakram tebal ∆y pada ketinggian y mempunyai jari-jari 4y/10. Sehingga volumenya kira-kira (4y/10)2 ∆y kaki kubik dan beratnya kira kira  ∆y, dengan   =62,4 adalah kerapan air (berat) dalam pound per kaki kubik. Gaya yang diperlukan untuk  mengangkat cakram air ini adalah sama dengan beratnya dan harus diangkat sejauh 10-y kaki. Jadi kerja ∆W yang dilakukan pada cakram ini, kira-kira adalah
∆W = (gaya) . (jarak)    ∆y . (10 – y)
Jadi
W =  = ) dy
     =    26,138 pound-kaki
b). bagian b sama seperti bagian a, kecuali bahwa masing-masing cakram air sekarang harus diangkat sejauh 20 – y dan bukannya 10 – y. sehingga
w =  = ) dy
    =    130.690 pound-kaki

 TEKANAN DAN GAYA PADA CAIRAN
Jika sebuah tangki atau flat atau container diisi cairan (fluida) setinggi h dengan densitas cairan . Maka gaya pada dasar tangki yang luas permukaannya A, jika sebuah plat dimasukkan secara vertical kedalam air sama dengan gaya pada permukaan cairan. Secara fisika dinyatakan dengan rumus F =   h A. Sementara besarnya tekanan adalah besarnya gaya yang diberikan per unit luas permukaan atau P =  =  h.
Bagaimana mengaplikasikan integral tentu untuk menentukan gaya pada siku empat pada dasar tangki muatan cairan dengan luas permukaannya A ?. untuk itu perhatian gambar
Kita bagi interval [a,b] dalam n subinterval dengan panjang 1, 2, 3,… a. Misalkan x k  sebarang titik pada subinterval ke-k
                                                     GAMBAR                                                     

Kita potong-potong permukaan plat dengan persegi panjang yang panjangnya w (x k  ) dan lebarnya k . misalkan kedalaman plat saat x adalah h(x k  ). Sehingga gaya pada siku empat yang terletak pada dasar tangki adalah
Fk    h(x k  ).[ w (x k  ). k]  ………………………….. (1)
Total gaya F pada segi empat  dasar tangki dihampiri dengan
F = k   ]………….(2)
Untuk menentukan secara eksak gaya F pada segi empat dasar tangki, kita butuh n  maka k . Akibatnya persamaan (2) dapat ditulis menjadi
F = ]
   =

Definisi
Asumsikan bahwa sebuah plat ditekan secara vertical kedalam cairan yang kerapatannya  dari x=a sampai x=b. untuk a , misalkan w(x) adalah lebar plat saat x dan h(x) kedalaman pada saat titik x. maka total gaya cairan pada dasar tangki adalah F =

Contoh-4
Sebuah palt yang berbentuk segituga yang panjang alasnya 10ft dan tingginya 4ft. dimasukkan secara vertical kedalam minyak seperti gambar
                                                     GAMBAR
Tentukan total gaya balikan kepermukaan plat jika kerapatan minyak  = 30 pon/ft3.
Penyelesaian :
Lebar plat segituga saat h(x) = (3+x) ft adalah
Sehingga gaya pada plat adalah
F =
   =  
   =75  + x2)dx
   = 75 04
F = 3400 pon

Tekanan dan Gaya Hidrostastik
                permasalahan:
Orang yang menyelam dilaut dalam menyadari bahwa tekanan air meningkat seiring dengan kedalaman laut karena berat air di atas mereka bertambah. Hal ini membuktikan bahwa pada setiap titik dalam cairan , tekanannya sama ke segala arah.
Maka dari itu, tekanan ke segala arah dengan kedalaman d dan kerapatan massa adalah:
P = ρgh
Contoh-5
Sebuah waduk dalam bentuk trapesium tingginya adalah 20 m dan lebar alas atasnya 50 m, sedangkan lebar alas bawah 30 m. tentukan gaya pada waduk tersebut yang diakibatkan oleh tekanan hidrostatis jika ketinggian air adalah 4 meter dari atas waduk?
Penyelesaian:
Kita menggunakan sumbu vertikal x dengan titik asal pada permukaan air seperti pada gambar. Kedalaman air 16 m sehingga interval menjadi [0,16] dan membaginya menjadi subinterval dengan panjang yang sama dengan titik akhir xi dan memilih xi*Є [xi-1, xi]
Sehingga Wi = 2(15+a) = 2(15+8-1/2xi*) = 46-xi* 
Jika Ai adalah luas pita ke-i, maka:
Jika ∆x kecil, maka tekanan P1 pada pita ke-I nyaris konstan dan kita dapat menggunakan persamaan I untuk menuliskan
gaya hidrostatik Fi yang bekerja pada pita ke-i adalah hasil kali tekanan dan luas:
Fi = PiAi1000gxi * (46 - xi *)∆x
Dengan menambahkan gaya gaya ini dan menghitung limitnya seiring n→∞, kita mendapatkan gaya total gaya hidrostatik pada waduk:
≈ 4,43 x 107 N



Momen, Pusat Massa
Andaikan bahwa dua massa berukuran m1 dan m2 diletakkan pada papan kesetimbangan dan berjarak d1 dan d2 dari titik tumpu pada bagian-bagian yang berlawanan terhadapnya. Papan tersebut hanya setimbang jika dan hanya jika d1m1 = d2m2
Model matematis yang baik untuk sittuasi ini diperoleh dengan cara meletakkan ulanbg papan penyangga dengan suatu sistem koordinat datar yang titik asalnya berada di titik tumpu. Maka koordinat x1 dari m1 adalah x1 = -d1 , koordinat m2 = d2 dan kondisi kesetimbangan adalah
                       x1m1 + x2m2 = 0
hasil kali massa m suatu partikel dengan jarak berarahnya dari suatu titik (lengan tuas) dionamakan momen partikel terhadap titik tersebut. Momen ini mengukur kecendrungan massa untuk menghasilkan suatu putaran pada titik tersebut. Syarat agar dua massa sepanjang suatu garis setimbang pada sebuah titik pada garis tersebut adalah bahwa jumlah momen momennya teradap titik itu sama dengan nol.
       Jumlah momen M (terhadap titik asal) suatu sisrem yang terdiri atas n massa berukuran m1, m2, …,mn yang berada pada x1, x2, …,xn sepanjang sumbu-x adalah jumlah momen masing-masing massa yakni 
M = x1m1 + x2m2 + … + xnmn =
Syarat kesetimbangan di titik asal adalah M=0. Tentu saja kita tidak selalu mengharapkan kesetimbangan di titik asal kecuali dalam keadaan khusus. Akan tetapi yang pasti setiap sistem massa akan setimbang di suatu tempat. Pertanyaannya adalah di mana. Berapakah koordinat x dari titik tempat titik tumpu seharusnya diletakkan agar sitem dalam gambar 4 setimbang?
Sebut koordinat yang diinginkan x . jumlah momen terhadap titik ini harus nol yakni
       (x1 – x )m1 + (x2 – x)m2 + … + (xn – xn)mn = 0
Atau
x1m1 + x2m2 + … + xnmn = x1m1 + x2m2 + … + xnmn
bila kita selesaikan untuk x maka kita memperoleh :
x =  =
titik x, yang dinamakan pusat massa, adalah titik kesetimbanagn. Perhatikan bahwa titik itu hanyalah jumlah momen terhadap titik asal dibagi dengan jumlah massa.



Distribusi massa yang kontinu sepanjang garis (sambungan momen , pusat massa)
Perhatikan sepotong kawat lurus tipis dengan kepadatan (massa tiap satuan panjang ) yang bervariasi, untuuk kawat tersebut kita inginkan mencari titik kesetimbnagannya. Kita tetapkan suatu garis koordinat sepanjang kawat dan andaikan kepadatan di x adalah . Pertama kita dapatkan jumlah massa m dan kemudian jumlah momen M terhadap titik asal (gambar 6) ini menuntun kita ke rumus :
x =  =

contoh :







kepadatan  sepotong kawat di titik yang terletak x cm dari salah satu ujungnya adalah  = 3x2 gram/cm. tentukanlah pusat massa kawat antara x = 0 dan x= 10
penyelesaian :
kita mengharapkan agar letak x lebih dekat ke ujung x = 10 ketimbang ujung x= 0, sebab kawat lebih berat (padat) ke ujung kanan (gambar 7)
x =  =  =  = 7,5 cm
                                                    








1 comment:

  1. terima kasiih sangat membantu , saya izin mengcopy untuk bahan pembelajaran dan tugas

    ReplyDelete